Desde que el año 2008 empezó, como si me hubiesen apretado un botón desde que dieron las 12am del 1 de enero, un tema en particular empezó a rondear mi mente y a traerme pesadillas. Como dirían los gringos, it rocked my world. Desde entonces, todo lo que he razonado ha venido teñido por ese razonamiento mayor.

Incluso me ha abierto a pensar en áreas que tenía abandonado, más por disgusto que por ignorancia. Uno de ellos es la política. Verán, mi padre tuvo varios cargos políticos en la República Dominicana, y el sólo pensar en los fines de semana que no me pasé con él - ya que andaba de campaña - me eran suficiente razón como para repudiar el tema completamente, o por lo menos eso me decía a mí mismo. Ahora, con esta nueva obsesión, me he sentido liberado incluso a adentrarme en ese tema*.

Oportunamente usé la palabra “liberado”, ya que este es el tema. La libertad.

La libertad es un concepto tan amplio y abstracto, que sólo es posible definirlo si se especifica primero a qué tema se le está aplicando, ya sea política, fe, relaciones interpersonales, eclesiología, deportes, etc.. Aún así, todos creemos saber exactamente qué significa, y estamos seguros de que sabríamos reconocer cuándo existe y cuándo no. Sin importar los temas que son de su interés, cada uno tiene una definición operante de “libertad” en su cabeza.

Y ahí entramos a lo aterrador del tema, ya que muchos han sido esclavizados a una falsa idea de la libertad, y se creen libres, y no lo son; otros saben que han perdido - o vendido - su libertad, pero no saben lo cerca que están de restaurarla; y otros ignoran la reflexión sobre el tema completamente, e irremediablemente operan bajo un concepto vago y casi automático. En cualquier caso, lo más espantoso es que aquí en esta bolita que llamamos “mundo” somos billones de personas, y sin importar su condición, todos y cada uno hace uso de una libertad: la de definir y aplicar el concepto “libertad” como quiere.

¿Y por qué digo “espantoso”, si el hecho de que cada quien es libre de pensar lo que quiere debería ser de plano celebrado? En la superficie sí, luce como algo que sólo puede ser positivo. Sin embargo, si cada persona de plano tendrá una opinión diferente de libertad, ¿cómo se puede asegurar el éxito en un diálogo sobre el tema?

Por ejemplo, alguien pudiera colocar un comentario en este post, diciendo que le alegra mucho que hable del tema; luego otro pudiera decir que no sé de lo que estoy hablando; y luego otro me dirá que el Cristiano debe tener cuidado de hablar sobre ese tema (hablé un poco sobre eso en esta charla). Cada cual, ya sea el que aprueba, desaprueba, o advierte, lo hace según una noción diferente de la libertad, y en efecto, es muy difícil saber si nos estamos entendiendo.

Varias personas a quienes les he expresado esta dificultad me han alertado de no ser fatalista. Creo que se refieren a que hay que expresarse, confiando de alguna manera en que la palabra será comprendida en alguna medida. Basado en eso, y a pesar de las dificultades, intentaré describir cómo la reflexión sobre la libertad ha causado en mí una nueva metanoia. Como dije, no creo que sea posible hablar sobre libertad si no se especifica bajo qué tema se está aplicando el concepto, y por eso trataré de ser bien claro en cuanto a esto.

Seguimos, y en reposo,

A&R

*Nota: Dado que Metanoia :: Spa Mental no es meramente un “blog cristiano”, sino principalmente el espacio para darle salidas a mis pensamientos (ver introducción), y dado que ahora me siento liberado a pensar y escribir sobre otros temas, desde ahora el contenido de este blog se diversificará bastante.

Como temas añadidos, no sólo hablaré sobre política (mayormente de EEUU, el único país en el que tengo potestad para votar), sino también sobre artes visuales, economía, cine, animación y diseño en movimiento, música, y deportes de artes marciales mixtas (es en serio). Por supuesto, seguiré hablando de los temas habituales como fe Cristiana, apologética, lógica, escatología, ateísmo, etc.. ¿Ahora entienden lo que quiero decir con “se diversificará bastante”?

*Nota #2: El soundtrack de este artículo es mi canción, “Libertad“.

Antes de seguir con el curso de este blog, me detengo por un momento.

Como informé en mi anterior post, en estos últimos meses han llegado muchos ateos a este blog para leer y comentar sobre lo que he escrito acá. Mientras que en general yo veo positiva la presencia de ateos y otros críticos, y la habilidad de responder directamente a sus pensamientos, me veo necesitado a tomar una nueva actitud de aquí en adelante hacia algunos tipos de comentarios.

Antes, aquí describo lo que ha sido mi actitud hasta el momento. Jamás he borrado comentarios, ni los he editado de ninguna forma, excepto en el caso de comentarios tipo spam. Muchos comentarios incluso han llegado al punto de insultarme; pero los que más me molestan son los que no tienden hacia un diálogo productivo, y en los que me veo perdiendo demasiado de mi precioso tiempo. Como dije, la mayoría de los comentaristas ateos asumen con demasiada precipitación que un comentario de su parte, y una respuesta de la mía, automáticamente implica que haya empezado un debate formal. De todos modos, creo que no he dejado de responder a ningún comentario ni pregunta, sin importar que hayan sido insultantes o de poca calidad intelectual.

Sin embargo, ya no estoy dispuesto a perder mi tiempo de esta manera, por lo que desde ahora expongo con claridad lo que será mi nueva actitud frente a todos los comentarios, sin importar quién los emita:

• Cualquier comentario con insultos hacia mi persona será inmediatamente borrado sin ofrecer explicación.
• Cualquier comentario con poca calidad intelectual - incluyendo una demostrada falta de lectura comprensiva con respecto al artículo bajo el cual se comenta - emitida de forma anónima será inmediatamente borrado y sin ofrecer explicación. Para evitar esto, se deberá incluír un nombre personal, o la dirección a un blog.
• Cualquier comentario de buena calidad intelectual y que merezca una respuesta extensa deberá necesariamente incluír un nombre personal, y si existe, la dirección a su blog. No es mucho pedir, ya que al igual esa persona de plano tiene conocimiento de mi nombre personal y obviamente la dirección de mi blog.
• Un comentario que merece una respuesta extensa, que a la vez sea emitido de forma anónima, no recibirá atención alguna de mi parte, sino que será borrado sin ofrecer explicación.

Como ven, las reglas siguen sólo un estándar normal de ética, y las identificaciones que requiero sólo se debe a que si voy a dedicar una buena cantidad de tiempo respondiendo a un crítico, necesito saber que es una persona que lee con seriedad, y no alguien quien anda copiando y pegando argumentos mientras tropieza torpemente entre todos los blogs Cristianos. Bajo estas nuevas medidas, confío en que los diálogos en lo adelante serán mucho más productivos.

Para los que creen que estas medidas atentan contra la “libertad de expresión”, les quiero informar que son libres de expresarse en cualquier otro medio como quieran. No me importa en lo más mínimo si en otros blogs y foros existe material insultante hacia mí, ni que exista material de poca calidad intelectual de forma anónima. En cuanto a este blog en particular, me propongo velar por que todo el contenido expuesto acá sea lo más productivo posible, sin importar si está de acuerdo conmigo o no. Repito, los comentarios pueden ser ateos y/o críticos hacia todo lo que digo, pero tengo que requerir que sigan las normas citadas acá.

Gracias por adelantado por considerar estas medidas antes de comentar.

A&R

Actualización: Debido a que la mayoría de los comentarios en los últimos meses han venido de parte de ateos, errónea e implícitamente indiqué que estas medidas aplican sólo a comentarios ateos. En realidad, aplican a comentarios de toda naturaleza, ya sea que vengan de Cristianos, sectarios o ateos. El post ha sido modificado donde hace sentido para indicar la generalidad de estas medidas.

Detesto los blogs que cuando tienen mucho tiempo sin publicar algo, empiezan diciendo algo como “vaya, tengo mucho tiempo que no escribo aquí”, o “Perdonen a todos mis lectores, pero he estado muy ocupado”. Como si no fuera evidente para los lectores fieles, y como si les importara a los que no lo son.

La verdad tengo que admitirla con simpleza: he estado perdido. Y quizás si no fuera por la no-tan-gran-pero-sí-valiosa cantidad de personas quienes me han hablado por distintas vías, preguntándome cuándo volvería a escribir, ni siquiera empezaría este post de esta manera. Simplemente arrancaría a escribir. Pero bueno, gracias a todos los que me han hecho sentir que mis palabras le valen de algo. De corazón, gracias.

En realidad no he estado nada inactivo escribiendo en este blog, ni en su hermana blanca. Una gran población de comentaristas - ateos, en su mayoría - han comentado, y yo he ocupado bastante tiempo respondiéndoles. Interesante es ver como casi todos asumen que un sólo comentario de mi parte implica que existe un debate al cual he accedido en participar. A los que se quedaron esperando respuesta mía, les quiero informar que ganaron su debate imaginario por vía del aburrimiento.

Volviendo a mi hiato… Lucho con y contra la idea de explicarles mi situación. Por un lado, si la explico siempre habrán quiénes la pondrán en una balanza, midiendo si es suficiente o no para perderse de esta manera. A la mayoría no les importa, para bien o para mal. Y otros torcerán las intenciones de cualquier explicación, emitiendo su soberano juicio de que es débil, ostentosa, o quizás aburrida.

Para mí, es todo eso y más. Y eso me paraliza.

Por ahora, en lo que duro tecleando esta nota, me lo ahorro.

Lo único que por ahora quisiera que se sepa es que no me he apartado por aburrimiento ni por falta de material qué escribir. En realidad, es justo lo contrario. La cantidad de asuntos de los que quisiera escribir es increíble, como jamás antes. Sin embargo, hay uno de esos asuntos en particular - el más fascinante y a la vez el más aterrador - que ahora mismo me detiene.

Pretendo dedicar gran parte de lo que escribiré en el futuro a ese tema y a los que le orbitan. No, un momento… si no me equivoco, TODO lo que escriba desde ahora en adelante estará teñido de ese tema en particular. Por lo pronto, trataré de resumir el asunto en un sólo post en un futuro no tan lejano.

A mis acusadores, no se preocupen. El tema al que me refiero no tiene que ver directamente con escatología ni con el ateísmo; pero eso tampoco implica que les estoy prometiendo callar sobre esos temas. Habrán oportunidades para seguir persiguiendo y maldiciéndome, no se preocupen. Traigan sus antorchas, pero hagan fila, por favor.

Hasta pronto. En reposo siempre,

A&R

Esta noche a las 9pm será la premiere mundial del show “Gorillas on the Brink” por el canal Animal Planet, en el que yo participé como diseñador principal de gráficos. También es el primer show en HD (Alta Definición) en el que he trabajado. Más tarde actualizaré este post con un video de la apertura del show.

Actualización: Pueden ver la apertura en esta página.

El documental trata sobre las matanzas de gorilas en Africa central. Aparentemente, los rebeldes hallan que matar 5-8 gorilas machos les trae más prensa internacional que matar 40 seres humanos. Pero el matar un gorila macho equivale a matar varias hembras y juveniles, porque quedan desprotegidos. Por tanto, la población del gorila montañez ha decaído muchísimo, quedando sólo unos 700 especímenes (si tengo la cifra correcta, pero por ahí anda la cosa).

El programa completo es sumamente impactante, y de verdad no lo digo porque yo haya trabajado en él. De hecho, yo sólo diseñé los gráficos, pero llegué a ver el show en sí por primera vez casi en sus etapas finales.

Bueno, si alguno de ustedes lo llega a ver, por favor me comparten sus comentarios.

Here’s hoping for an Emmy!!

A&R

Aquí les ofrezco un índice de “Gödel y su Teorema de Incompletitud”, escrito por mi hermano de sangre y en fe, Antonio (Tony) Rodríguez.

• Parte I (Introducción)
• Parte II
• Parte III
• Parte IV

Este tema en particular me ha dado mucho en qué pensar en estos días. No pienso compartir mis acostumbradas reflexiones porque quiero permitir que mis ideas sobre el tema maduren un poco más; no obstante, estoy convencido de que las implicaciones de Gödel son masivamente relevantes a los asuntos sobre intercambio de ideas (como el tema de la apologética), particularmente para que nuestras expectativas de sistemas ajenos a los nuestros sean realistas.

Se los debo… por ahora, sigo pensando.

A&R

Sin embargo, existe una diferencia crucial entre los números FBF y los números PM; las reglas de inferencia de PM a veces producen hileras de símbolos que son más cortos que sus argumentos. Por ejemplo:

…lo cual significa que:

…y considerando que g es el mismo número que encasilla el enunciado:

…ó mejor dicho:

Pero, ¿cómo es posible que se logre introducir a g dentro de sí mismo? Permítanme remontarme a la primera parte de este viaje a través de Gödel, en el que hablábamos sobre números cuya descripción necesitaría de 30 sílabas. ¿Recuerda que logramos reducir su descripción a solamente 23 sílabas? En sí, lo que hizo Gödel fue describir el número, en vez de escribir el número en su completitud.

Entonces, estamos forzados a hacernos la siguiente pregunta: ¿Será cierto que KG es indemostrable? Volvamos al Credo de los Matemáticos, y a la premisa original que enfatizó Russell al querer desarrollar el sistema PM: “Nada falso es demostrable dentro de PM” (consistencia). Si PM no fuera consistente, entonces permitiría que cualquier enunciado verificado por las reglas de PM fuese falso. Y si partimos de una premisa falsa, pone en duda cualquier cosa derivada de esa premisa. Aún más, permitiría que cualquier enunciado pueda demostrarse como verdadero, ya que al partir de una premisa falsa, ¡se pudiera demostrar cualquier cosa!! Seamos generosos, y otorguémosle al sistema de PM el beneficio de la duda, y por el momento asumamos que sí es consistente. Por tanto, asumiremos que nunca demuestra enunciados falsos.

Entonces, ¿qué sucedería si KG fuese demostrable dentro de PM? Digamos que así es, que KG es demostrable, recalcando que KG no está de acuerdo con esa premisa; a ciencia cierta, está gritando a los cielos “¡¡No soy demostrable!!”. Si la premisa es cierta, entonces KG es falsa. No es posible que un enunciado sea tanto demostrable como no-demostrable. Pero si KG es demostrable, entonces KG es falso. ¡¡Y esto es precisamente lo que queríamos evitar!! El sistema deja de ser consistente, ¡porque acaba de demostrar algo que es falso!

Si queremos garantizar la consistencia, debemos rechazar la premisa de que KG es demostrable. Entonces, KG no es demostrable. ¡Pero eso es precisamente lo que está diciendo KG, que no es demostrable! Llegamos a dos verdades acá: (I) KG no es demostrable, y (2) KG es verdadero.

Pero esto va completamente en contra del Credo de los Matemáticos. KG es verdadero, pero KG no es demostrable. Lo fascinante es que KG no es indemostrable y verdadero, sino que es indemostrable porque es verdadero.

Y si algo verdadero no es demostrable dentro de un sistema particular, dicho sistema deberá considerarse incompleto. De aquí es de donde el teorema de incompletitud recibe su nombre.

FIN

El sistema PM, en la demostración de verdades matemáticas creado por Russell, expone una serie de reglas de inferencia, con las cuales se pueden derivar otras verdades a partir de verdades descubiertas anteriormente. Cada regla funciona como una caja negra, dentro de la cual se introducen una o más verdades como entrada, y se obtiene una verdad como salida. Lo interesante de las reglas expuestas en PM es que son puramente tipográficas; no requieren de un agente pensante que las aplique, sino que manipulan símbolos que representan verdades de manera completamente mecánica. Para los fines de estas reglas, es como si las verdades que sirven de entrada no tuviesen significado alguno.

No obstante, a la misma vez, estas reglas deben ser formuladas de tal manera que solamente pueda resultar una verdad cuando se utilizan verdades como argumento a la regla. Así es que Russell, quien diseñara estas reglas, debió tomar en cuenta tanto el significado de los argumentos provistos como la veracidad del resultado, para asegurarse que la regla funcionaría de manera correcta cuando fuese utilizada por una entidad que no supiera el significado de los argumentos.

Por ejemplo, utilizando lógica simbólica, el símbolo v se utiliza para el concepto de disyunción, mejor conocido como la conjunción “ó” en nuestra gramática. Entonces, una regla de inferencia pudiera decir:

Si uno se encontrara con una proposición que enuncie, “Mi gato está hambriento, o mi perro está dormido”, se pudiera inferir la verdad “Mi perro está dormido, o mi gato está hambriento”. Esta regla tal como está descrita acá no está incluida en PM, pero la presentamos porque demuestra que una regla de inferencia puede limitarse a manipular símbolos y cambiarlos de orden de manera organizada para obtener un resultado que está de acuerdo con la intención del diseñador de la regla.

Basado en esto, se pudiera considerar a los axiomas del sistema como verdades de 0va generación (porque no fueron “generadas”, sino asumidas como verdad fundamental), y las reglas de inferencia aplicadas a estas verdades producirían verdades de 1ra generación. Las verdades de 2da generación vendrían de estas reglas, utilizando como argumentos las verdades tanto de 1ra como de 0va generación, y así sucesivamente. El cuerpo infinito de los teoremas de PM está completamente definido por estos axiomas, las semillas del árbol de PM, y las reglas de inferencia, que permiten crear nuevos teoremas a partir de teoremas anteriores.

La esperanza de Russell con este sistema era que toda verdad generada por este sistema fuera de por sí verdad (no hay falsedades generadas por el sistema), y a la vez, que todas las verdades de PM fuesen generadas (no existe verdad que no sea generada por este medio). La primera esperanza es la de consistencia, y la segunda de completitud. Estas esperanzas se asemejan mucho al contenido del Credo de los Matemáticos, pero con una diferencia: en donde el Credo habla de demostración sin decir de dónde proviene, Russell quiere que signifique que existe tal demostración dentro de PM.

Gödel, aunque respetaba mucho la labor de Russell y Whitehead, creía que PM no podía crear una correspondencia perfecta entre verdades matemáticas y verdades dentro de PM; aún más, creía que era imposible llegar a ese punto a través de cualquier método. ¿Y cómo llega a esta creencia? Gödel llegó a ver uno de esos bucles extraños dentro del sistema sin significado, un sistema que se limitaba a manipular símbolos sin imponer un significado a esos símbolos. Para traer ese bucle extraño a la visibilidad pública, debía hacer una traducción del sistema desde un grupo de símbolos hasta un sistema puramente numérico.

Una de las inspiraciones de Gödel es la serie de números de Fibonacci. La serie se genera a partir de dos números (1 y 2), y cada elemento que le sigue es simplemente la suma de los dos elementos anteriores. La serie se parece a esto (al menos en sus primeros elementos):

Como puede verse, es similar al sistema PM en cuanto a su elaboración, partiendo de unas semillas y con una regla de inferencia que permite obtener el elemento subsiguiente.

Gödel utiliza este fundamento, y considera posible crear una correspondencia entre los axiomas de PM y algunos números específicos, y de igual forma, considera crear una correspondencia entre las reglas de inferencia de PM y las operaciones matemáticas. Por ejemplo, si se puede crear el teorema Q partiendo de los teoremas P y S utilizando la regla de inferencia I5, se pudiera también crear un número q que sería el resultado de aplicar una operación llamada i5 a otros números p y s, y estas conformarían una correspondencia perfecta.

Para lograr esto, se deben establecer algunas reglas de traducción, las cuales le permitiría expresar cualquier expresión simbólica en PM como un número, y de esa misma manera, convertir un número en una expresión simbólica en PM.

El abecedario simbólico de PM consta a penas de una docena de símbolos (y aunque luego se utilizan otros símbolos, todos son definidos en base a estos 12, así que conceptualmente los símbolos adicionales no son necesarios). A cada uno de éstos símbolos básicos, Gödel le asigna un número entero pequeño (y vale decir que esta asignación es completamente arbitraria).

Entonces, para expresar hileras de símbolos básicos (para el caso de la traducción, estas “hileras” y las “formulas en PM” son sinónimos), se toma cada símbolo de izquierda a derecha, y se reemplaza por el número correspondiente. Luego, se tomarían esos números, y se los usaría como exponentes para números primos sucesivos, creando así un numero entero mayor. De esta manera, aunque los números correspondientes a los símbolos del abecedario básico serían arbitrarios, los números asignados a la hilera de símbolos no lo serían.

Para demostrar esto, supongamos que al símbolo “0″ le corresponde el número 2, y que al símbolo “=” le corresponde el número 6. Entonces, para expresar la fórmula “0=0″, el código sería 2, 6, 2. Estos números son utilizados como exponentes para los primeros tres números primos (2, 3 y 5) de la siguiente manera:

Entonces, el número que corresponde a la fórmula “0=0″ es 72900. De esa misma manera, tomando el número 72,900, se lo podría descomponer a sus factores primos, tomar los exponentes, y obtener la fórmula que le corresponde.

Ahora bien, esto no significa que cualquier número corresponde a una fórmula bien formada (valga la cacofonía). Por ejemplo, un número cuya traducción resultase en una fórmula “(=0=)” no debe de considerarse como bien formada, mientras que “0+0=ss0″, aunque es falsa, sí se considera bien formada. Por tanto, separamos a todos los números dentro de dos clases, los que corresponden a fórmulas bien-formadas (números FBF) y los demás.

Gödel utiliza esto para establecer reglas de formación a partir de las cuales, dado un número FBF, se puedan crear otros números FBF. Y acá vemos un paralelismo con el sistema de números Fibonacci, en el cual a partir de un grupo pequeño de semillas (1 y 2 en un caso, y números FBF en el otro), podemos extraer una planta con gran cantidad de ramificaciones. Cabe destacar que la simplicidad de Fibonacci no se mantiene, ya que consiste únicamente de una regla de inferencia (obtener el siguiente término sumando los dos términos anteriores), mientras que la cantidad de reglas de formación es enorme.

Otro aspecto que debe recalcarse es que los números de Fibonacci siempre van en ascenso (cada número es mayor que el anterior), y así también sucede con las reglas de formación. Por tanto, de la forma en que podemos asegurar que 53 no es un número Fibonacci, mientras que 55 sí lo es, podemos así mismo decir que cierto número A no es FBF, dado que ya hemos aplicado todas las reglas de formación a los números FBF menores que A, y todos han resultado con números FBF mayores que A; no es posible que regresemos a A por medio de sucesivas aplicaciones de las reglas de formación.

Lo interesante es observar cómo estos números FBF forman una agrupación en el conjunto de números tan válidos como los números Fibonacci, o los números cuadrados, o los números primos, en que es un conjunto al cual un número pertenece, o bien no pertenece. Es una distinción en base a teoría de números. Y aún más interesante es que se puede jugar con estas reglas de formación y números FBF, y jamás darse cuenta de su paralelismo con hileras de símbolos de PM. Estos números FBF son relativamente fáciles de definir, y es una de las nociones entra las que PM está diseñada para estudiar. Pero, observamos que PM estudiaría las reglas de formación propiamente establecidas dentro de ella misma, tal como si se usara un microscopio para descubrir fallas en sus propios lentes.

Y aún queda más por descubrir. . .

[Continuará...]

Retocando los puntos finales del fascículo anterior, Bertrand Russell quiso desarrollar un sistema matemático con el cual se pudiera demostrar cualquier verdad matemática. Si era verdad, se podría demostrar utilizando PM, y todo lo demostrable por PM era verdad. El auto-referencialismo era el principal punto débil en contra de esta meta, así que fue detenido por un sistema de tipos, el cual prohibe que un conjunto se contenga a sí mismo como elemento. Este sistema está detallado en los volúmenes de su obra magna, Principia Mathematica. Llamaremos PM al sistema mismo, mientras la publicación retendrá el nombre de Principia Mathematica; de esta manera, eliminaremos ambigüedades entre lo publicado como libro y lo establecido como norma y regla por la publicación.

Hemos mencionado que PM es sumamente detallado; apenas al inicio del segundo volumen se llega a la conclusión de que 1 + 1 = 2 (o escrito en la notación de PM, “s0 + s0 = ss0″ , en donde “s” significa “sucesor de”, o “el numero que le sigue a”). La principal complicación de PM es que parte desde un grupo de símbolos muy pequeño, pero mientras más avanza, va reemplazando un grupo de símbolos por símbolos solitarios para hacer las demostraciones más comprensibles, algo así como una multiplicación es simplemente una repetición de sumas de la misma cantidad. (37 * 4 = 37 + 37 + 37 + 37). Los símbolos avanzados son muy útiles para acortar (!) la longitud de algunas demostraciones, pero siempre se deberá recordar que es una manera corta para escribir algo sumamente largo. Y se entiende que cuando se introducen conceptos avanzados, es más simple introducir conceptos aún más avanzados a partir de ellos; cuando tenemos la multiplicación definida, crear conceptos como “al cuadrado”, “numero primo”, etc., se nos facilita mucho más.

También hay que mencionar algo sobre la personalidad de los matemáticos, a quienes les encanta descubrir patrones sobre los números, y cuando encuentran un patrón, usualmente no la consideran como coincidencia, sino que piensan que debe de haber una razón por el cual existe, y viven para descubrir esa prueba que describe la verdad sobre ese patrón. Un matemático famoso, Paul Erdos, decía que “un matemático es un aparato que produce teoremas si le dan café”. Y aunque muy gracioso, ese comentario tiene un ápice de verdad, aunque sería apropiado cambiarlo un poco: Un matemático es un aparato que produce teoremas si le proveen de conjeturas.

Sigamos por un momento la travesía de un teorema, desde su conjetura hasta su finalización. Uno de los más simples es el que establece como hipótesis “Los números primos son infinitos”. No pretenderemos demostrarlo con la rigurosidad que exige una prueba matemática, sino que lo haremos muy a la ligera, para no traumatizar a los que tienen años sin pensar en álgebra, o los que se desmayan al levantar un libro de cálculo.

¿Y de qué forma probaremos que los números primos son infinitos? Primero, establecemos lo que es un número primo: un numero que no puede ser dividido entre otro número menor que él, exceptuando el uno, y sin dejar residuo. Por ejemplo, 27 es divisible entre 3 y por tanto no es primo, mientras que 37 no es divisible entre ningún número menor (de nuevo, sin contar el uno). Si es posible que un numero sea el resultado de una multiplicación (que no involucre multiplicar por uno), se considera compuesto, y todo numero compuesto tiene una descomposición a números primos únicos. Por ejemplo, 27 = 3 x 3 x 3, en el que todos los números a la derecha del signo de igualdad son primos.

Como verán, una prueba empírica no nos serviría; probar todos los números en existencia para ver sin son primos no es factible en lo absoluto, porque no hay manera de llegar a contemplar todos los números en existencia. La única manera en que llegaremos a alguna parte es suponiendo lo contrario de nuestra hipótesis: “Los números primos no son infinitos”. Esto implica que debe haber un número primo máximo, el cual llamaremos P. Por ahora no nos importa el valor de P; simplemente la idea de que existe es suficiente para auxiliar la contradicción de nuestra hipótesis.

¿Y entonces qué hacemos, ya que tenemos a P? Bueno, juguemos con los números primos que se encuentren entre 2 y P, multiplicándolos todos. 2 x 3 x 5 x 7 x. . . y así, hasta llegar a P; a ese resultado lo llamaremos Q, y como verán, es mucho más grande que P, pero como es el resultado de una multiplicación de números primos, no puede ser primo de por sí. Pero, ¿qué pasa con el número Q + 1?

¿Será divisible entre 2? No, porque Q es divisible entre 2, y por tanto (Q + 1)/2 tiene como residuo 1. ¿Será divisible entre 3? No, porque Q es divisible entre 3, y por tanto (Q + 1)/ 3 tiene como residuo 1.

Y así seguiremos, intentando dividirlo por cada uno de los primos que tenemos, hasta llegar a P, el cual también nos deja un residuo de 1. Entonces, Q no tiene descomposición a números primos, ¡y por tanto debe ser primo! Pero un momento… ¡habíamos establecido que P era el número primo mayor, y ahora resulta que Q es mayor que P!

Entramos a una contradicción, y como llegamos a él partiendo desde nuestra contra-hipótesis, significa que la hipótesis original debe ser cierta.

Y así es como llegamos al Credo de los Matemáticos:

En las matemáticas, este Credo es irrefutable. La primera parte del credo establece que la prueba sirve como garantía de su verdad, y la segunda establece que donde hay un patrón verídico, hay una razón demostrable detrás de él. Esta última no garantiza que descubriremos esa prueba, pero sí establece su existencia y que puede ser descubierta por alguien.

Dudar de ese Credo sería imposible para un matemático. Dudar la primera parte significaría que es posible probar algo que es falso, lo cual derrumbaría el concepto de prueba de prueba en sí; de igual forma, dudar de la segunda significa que existen patrones excepcionalmente perfectos que continúan hacia el infinito sin razón de ser o explicación discernible. Einstein dijo una vez “Dios no juega dados con el universo”, y lo que quiso decir es que nada en la naturaleza sucede sin causa.

Existe una enorme cantidad de problemas matemáticos cuya prueba aún no se ha descubierto, aunque se han dedicado siglos a su estudio, y muchos matemáticos son tan resolutos que consideran que la ausencia de esa prueba por tanto tiempo es evidencia de su ausencia, y siguiendo el Credo, mantienen la equivalencia entre falsedad y la falta de una prueba.

La genialidad de Gödel está en establecer, partiendo de PM, no solamente una autoreferencia en donde se suponía que no debía aparecer, sino una autoreferencia que, por su propia naturaleza, establece lo contrario a la segunda parte del Credo, el cual dice “X es verdad pero no puede existir una prueba de ella dentro de PM“.

[Continuará...]

Edito y publico una serie de escritos sobre Gödel y su teorema de incompletitud, un tema verdaderamente fascinante, y que en mi opinión ayuda a expandir nuestro marco de pensamientos, al igual que nuestro proceder en interacciones. Los escritos son autoría de mi propio hermano mayor, Antonio (Tony) Rodríguez.

—-

En el libro “I am a Strange Loop” de Douglas Hofstadter, él define un bucle extraño como un supuesto ascenso en niveles jerárquicos, en el que al final te das cuenta de que sólo llegas al punto inicial; el bucle está cerrado, aunque daría la impresión de que se está “escalando” con cada paso que se da. Como ejemplo, piense en una caja de carton que se quiera cerrar. Se cierra la tapa de la caja de tal manera que encajen, y a la vez cada tapa se soporta tanto por otra tapa, como también es soporte para otra tapa. No hay ninguna de esas tapas que sea superior, pero si partes desde una, y tomas la próxima en “ascenso”, llegarás de vuelta a tu tapa original.

De esa misma manera, en el campo musical es posible una secuencia de notas en la cual crees que estás subiendo una escala, aunque bajo inspección estricta uno puede notar que sólo se repite la misma serie, y que el “ascenso” es por tanto falso. [Tony se refiere a la paradoja de Shepard, una ilusión auditiva de un ascenso perpetuo de frecuencia; pueden escuchar un mp3 acá. -A&R]

Tambien hay que mencionar al artista M.C. Escher, quién posee una habilidad magistral para confundir a los observadores con sus dibujos. A la derecha, uno de los ejemplos más simples (y más vistos y gastados), en donde se refleja este fenómeno del bucle extraño. El bucle progresa desde la imágen hacia el artista, el cual se coloca en un plano superior al de su imagen. Pero esa jerarquía es violada cuando uno nota que la imagen es el dibujante de su artista; cada mano está por encima de la otra!

No obstante, todos los bucles mencionados han sido juegos de nuestros sentidos, los cuales son hasta cierto punto no-confiables. Existen ilusiones ópticas y auditivas que juegan con nuestros sentidos. Pero, ¿qué tal el idioma, que suele ser más concreto y fiable?

Primero establezcamos el concepto del nombre de un número, como la manera más corta (en sílabas) para describirlo. Por ejemplo, podemos describir el número 777,777 como “setecientos setenta y siete mil, setecientos setenta y siete”, que tiene 21 sílabas (y aquí establezco que la frase “setenta y” se trata de cuatro sílabas, y no la reduzco a tres sílabas “setenti”, como se hace popularmente). Se pudiera reducir al punto de decir “setecientos setenta y siete por mil y uno”, frase que termina en 15 sílabas, una reducción de seis sílabas. Pudiésemos reducirla aún más, pero es más importante llegar al punto siguente.

Establezcamos un número que llamaremos q, el cual describiremos como “el número más pequeño que requiere de treinta sílabas en su descripción”. Por ahora, nos da igual el valor de q; lo que sí parece claro es que debe existir un número bastante alto como para que su descripción requiera de treinta sílabas. El problema entra cuando establecemos que nuestra premisa original sobre la naturaleza de q contiene menos de treinta sílabas (veinte y tres, para ser exacto). Por tanto, esa descripción no requiere de 30 sílabas, sino apenas de 23.

O bien, utilicemos el concepto de números interesantes, partiendo desde cero, la identidad aditiva; luego a uno, la unidad e identidad multiplicativa; luego el dos, único número primo par; luego el 3, primer número primo impar; luego el 4, primer número compuesto (2*2); y así sucesivamente. ¿Habría algún número que podamos calificar como el primer número no-interesante? Si pudiéramos, ¿acaso esa no sería una propiedad interesante de por sí (el de ser el primer número no-interesante)?

Otro ejemplo sería el de la persona que te dice “No tengo palabras para expresar lo que te agradezco esto o aquello” y sin embargo, acaba de expresarlo con doce palabras (y de paso, el hecho habla sobre su falta de vocabulario).

Estos son vicios del idioma que hablamos, porque no existe una idea concreta y absoluta de lo que significa una sílaba, ni de cómo calificar algo como interesante, o el no tener palabras pero a la vez expresándolo con una cantidad de palabras. ¿Qué tal si llegásemos a una ciencia y una metodología que no tiene dudas en cuanto a los sentidos? Las cosas son, o no son, y ya. ¿Sería posible crear un bucle extraño dentro de ellas?

A Bertrand Russell le molestaba una serie de paradojas creadas a principios del siglo XX, los cuales jugaban con la matemática de manera “deshonrosa”. Considere por un momento el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento; llamemos a este conjunto S. Ahora bien, ¿se encuentra S dentro de sí mismo? Si lo está, entonces no debería de estarlo; si no lo está, entonces debería estarlo.

Otra forma de ver esto es la historia del barbero de un pueblo. A los hombres de ese pueblo naturalmente les suele crecer la barba, y algunos se afeitan ellos mismos, mientras que otros visitan al barbero para que lo afeiten. El barbero solamente afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. Entonces, ¿quién afeita al barbero? Si el barbero se afeita a sí mismo, rompe con la regla establecida de que solamente afeita a los que no se afeitan ellos mismos; si no se afeita él mismo, entonces él debería de afeitarse. (como ven, esta version de la paradoja me encanta. . .)

¿Y qué hace Russell para deshacerse de estas paradojas? Decide establecer una metodología matemática que prohibe la auto-referencia; establece una jerarquía de niveles matemáticos que no permiten manipulaciones a niveles superiores desde donde se encuentra un enunciado particular, y a la vez establece que un argumento en un nivel no puede confundirse con uno en otro nivel. Podemos decir que establece una jerarquía de tipos, en el cual es necesario hablar del tipo de argumento y no solamente de la operación en sí.

Para aclarar esto, traigamos a la consideración el conjunto S como el conjunto-1 de todos los conjuntos-0 que no se contienen a sí mismos. Como S no es un conjunto-0, sino un conjunto-1, ya no existe la paradoja de que si S está o no está dentro de sí mismo. Así también podemos denominar que el barbero sea un ciudadano-1, y que su reglamento es que él afeita a todos los ciudadanos-0 que no se afeitan a sí mismos. Así, ya no hay problemas en preguntar si el barbero se afeita a sí mismo, porque su reglamento no impica paradoja alguna.

Bueno, Russell cree que este sistema es en verdad magnífico, pero realmente haría falta una formalización. Entre Russell y otro caballero de nombre Alfred North Whitehead, establecen un fundamento matemático absoluto, el cual prohibe las paradojas. Este fundamento es la Principia Mathemática, una obra de tres volúmenes (publicadas en 1910, 1912 y 1913), que trata sobre la teoría de conjuntos, los numeros cardinales, los numeros ordinales y los numeros reales. Un cuarto volúmen trataría el tema de la geometría, pero fue abandonado debido a lo largo de los tres volúmenes anteriores.

Y verdaderamente eran largos y tediosos; para la página 360 del primer volúmen, existe una demostración del teorema 54.43 “Dos conjuntos de cardinalidad 1 son disjuntos si su unión presenta cardinalidad 2″, en donde “cardinalidad” es simplemente el número de elementos que contiene el conjunto, y “disjunto” significa que no poseen elementos en común, y “unión” se refiere a que un conjunto contiene los elementos de ambos conjuntos. Cada uno de estos conceptos es definido con anterioridad, y el teorema tiene una nota más abajo: “Usaremos esta definición para establecer que 1+1=2 cuando hayamos definido la operación de suma.” ¿Y cuándo establecen que 1+1=2? En su teorema 110.643, en el volumen II pag. 86. Esto es muestra del tremendo detalle que deseaban proveer a este fundamento y a esta jerarquía.

Y justo ahí es donde entra Gödel a dañarlo todo.

[Continuará. . .]

Carlos me ha retado con este meme, que trata sobre responder a las preguntas con lo que sea que tu player esté tocando en el momento. Como no tengo Ipod, y también se me quedó el disco duro donde tengo mis mp3s, usaré mi Quickmix en Pandora, a la cual tengo bastante entrenadita por tanto que lo uso, if you know what I mean.

No les garantizo que algo de esto tenga sentido, aunque quizás hayan algunas coincidencias graciosas; de todos modos, como dijo Carlos, al menos tendrán una idea de lo que oigo mientras estoy en la oficina (en resumen, oigo de todo excepto country y reggeatón, porque todas las canciones en estos géneros me parecen iguales… no sé dónde termina uno ni empieza el otro).

En la mayoría de los enlaces de las canciones podrán escuchar una corta muestra de la pieza-respuesta, en caso de que no conozcan la canción o el artista.

1.- ¿Cómo te llamas?
“The Lump Lump“, Sadat X

2.- ¿Cómo te sientes hoy?
“Slow Boat to China“, Stan Getz

3.- ¿Cual es tu perspectiva de la vida?
“Red Barchetta“, Rush

4.- ¿Qué piensa tu familia de ti?
“On The Sunny Side of the Street“, Pee Wee Hunt

5.- ¿Qué piensan tus amigos de ti?
“This World“, Zero 7

6.- ¿Qué piensa de ti la gente que no te conoce?
“La Rueda Mágica“, Fito Paez

7.- ¿Cómo ha sido tu vida amorosa hasta ahora?
“Amo Dejarte Así“, Gustavo Cerati

8.- ¿Cómo será en el futuro?
“Endless Dream“, Conjure One

9.- ¿Te casarás? (Ya estoy casado)
“Claire de Lune“, Bireli Lagrene

10.- ¿Tendrás hijos? (Ya tengo 2)
“Leap of Faith” (Live), IQ

11.- ¿Eres bueno en la escuela? (No estoy estudiando formalmente)
“Contact“, The Police

12.- ¿Exitoso?
“Diversion“, Orisha

13.- ¿Canción para cumpleaños?
“One“, Lamb

14.- ¿Canción para tu funeral?
“Beautiful“, Goldfrapp

15.- ¿La cancion sobre tu vida?
“Kattorna“, Tomasz Stanko Quartet

16.- ¿Tu mejor amigo y tú son? (En realidad no tengo un “mejor amigo”)
“Sería Feliz“, Julieta Venegas

17.- ¿Tu mejor amiga y tú son? (Ditto, no tengo)
“The Art of Falling“, Jeff Johnson

18.- ¿El amor de tu vida y tú se llevan…?
“Sour Times“, Portishead

19.- ¿Para los tiempos felices?
“I Am You“, Depeche Mode

20.- ¿Para los tiempos tristes?
“Not Seventeen“, Mandalay

21.- ¿Para todos los días?
“The Educators“, Up, Bustle and Out

22.- ¿Para mañana?
“In the Moment“, Charlie Haden

23.- Para el amor de tu vida:
“Ramblin’“, Ornette Coleman

24.-¿Para los traumas?
“The Bizness (feat. Common)“, De La Soul

Si después de ver la locura de géneros que a diario escucho, y a alguien le interesa ingresar completamente a la experiencia de lo que oigo, pueden tocar cualquiera de mis estaciones de Pandora, e incluso mi Quickmix. Aquí está mi perfil.

Lanzo el meme exclusivamente a Quisqueyanos valientes: a Fausto, a Darío, y a Rafael Vargas.

A&R